프로베니우스 군

프로베니우스 군(Frobenius group)은 군론에서 특정 조건을 만족하는 치환군을 의미한다. 구체적으로, 군 G가 자명하지 않은 부분군 H를 가지고 다음 두 조건을 만족할 때 G를 프로베니우스 군이라고 한다.

1. G의 모든 원소 g에 대해, gHg⁻¹ = H 이거나 gHg⁻¹ ∩ H = {e}이다. (여기서 e는 G의 항등원)
2. G = ∪g∈G gHg⁻¹ 이 아니다.

이러한 부분군 H를 프로베니우스 보완군(Frobenius complement)이라고 부르며, K = G \ (∪g∈G (gHg⁻¹ \ {e})) ∪ {e} 는 G의 정규부분군을 이루며, 이를 프로베니우스 핵(Frobenius kernel)이라고 부른다. 프로베니우스 핵은 항상 가해군이며, 프로베니우스 정리에 의해 존재성이 보장된다.

프로베니우스 군은 유한군론에서 중요한 역할을 하며, 군의 구조를 분석하는 데 사용된다. 예를 들어, 프로베니우스 군의 표현론은 군의 성질을 이해하는 데 도움을 준다. 프로베니우스 군의 정의는 얼핏 복잡해 보이지만, 군의 작용과 관련된 특정한 조건을 나타내며, 이를 통해 군의 구조에 대한 정보를 얻을 수 있다.

간단한 예시로, 5차 대칭군 S₅는 프로베니우스 군이 아니다.