경사도

경사도 (Gradient)는 다양한 분야에서 사용되는 용어로, 일반적으로 어떤 양의 변화율 또는 기울기를 나타낸다.

개요

경사도는 특정 방향으로의 변화량을 측정하는 데 사용되며, 벡터, 스칼라, 함수 등 다양한 수학적 객체에 적용될 수 있다. 일반적으로는 공간 상의 위치에 따라 값이 변하는 스칼라 함수의 변화율을 나타낼 때 많이 사용된다.

수학적 정의

• 스칼라 함수 경사도: 스칼라 함수 f(x, y, z)의 경사도는 각 좌표축 방향으로의 편미분 값을 성분으로 하는 벡터로 정의된다.

  ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

  여기서 ∇는 'nabla'라고 읽으며, 경사도 연산자를 나타낸다.

• 벡터 함수 경사도: 벡터 함수의 경사도는 Jacobian 행렬로 표현될 수 있으며, 각 성분의 변화율을 나타낸다.

활용 분야

• 수학: 함수의 최대/최소값 탐색, 최적화 문제 해결
• 물리학: 전위, 온도 분포 등의 변화율 분석
• 공학: 지형 분석, 유체 흐름 시뮬레이션
• 머신러닝: 경사 하강법을 이용한 모델 학습

경사 하강법 (Gradient Descent)

머신러닝에서 가장 널리 사용되는 최적화 알고리즘 중 하나인 경사 하강법은 함수의 경사도를 이용하여 함수의 최소값을 찾는 방법이다. 손실 함수의 경사도를 계산하여 파라미터를 업데이트하는 과정을 반복함으로써 모델을 학습시킨다.