푸아송 괄호

푸아송 괄호(Poisson bracket)는 해밀턴 역학에서 두 함수 간의 관계를 나타내는 연산자이다. 주로 고전역학에서 상태 공간 상의 두 함수 f와 g의 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

{f, g} = Σᵢ (∂f/∂qᵢ ∂g/∂pᵢ - ∂f/∂pᵢ ∂g/∂qᵢ)

여기서 qᵢ와 pᵢ는 각각 일반화 좌표와 일반화 운동량을 나타내며, Σᵢ는 모든 좌표와 운동량 쌍에 대한 합을 의미한다.

푸아송 괄호는 다음과 같은 성질을 가진다.

• 반대칭성 (Antisymmetry): {f, g} = -{g, f}
• 선형성 (Linearity): {af + bg, h} = a{f, h} + b{g, h} (a, b는 상수)
• 라이프니츠 법칙 (Leibniz rule): {fg, h} = f{g, h} + {f, h}g
• 야코비 항등식 (Jacobi identity): {f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0

푸아송 괄호는 시간 변화에 따른 물리량의 변화를 기술하는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 해밀턴 함수 H에 대한 함수 f의 시간 변화율은 다음과 같이 표현될 수 있다.

df/dt = {f, H} + ∂f/∂t

만약 f가 시간에 명시적으로 의존하지 않는다면, df/dt = {f, H}가 된다. 특히, {f, H} = 0이라면 f는 시간에 따라 변하지 않는 보존량이다.

푸아송 괄호는 고전역학에서 양자역학으로의 양자화를 수행할 때에도 중요한 역할을 한다. 고전역학에서의 푸아송 괄호는 양자역학에서의 교환자 (commutator)에 대응된다.