코사인 법칙

코사인 법칙 (Law of Cosines)은 삼각형의 세 변의 길이와 한 각의 코사인 사이의 관계를 나타내는 삼각함수 공식이다. 삼각형의 두 변의 길이와 그 사이 각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구하거나, 세 변의 길이를 알 때 각의 크기를 구할 때 유용하게 사용된다. 피타고라스 정리의 일반화된 형태로 볼 수 있다.

정의

삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 대변의 길이를 각각 a, b, c라고 할 때, 다음 공식이 성립한다.

• a² = b² + c² - 2bc cosA
• b² = a² + c² - 2ac cosB
• c² = a² + b² - 2ab cosC

이 공식을 변형하면 다음과 같이 각의 코사인 값을 구할 수 있다.

• cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
• cosB = (a² + c² - b²) / 2ac
• cosC = (a² + b² - c²) / 2ab

활용

코사인 법칙은 다음과 같은 경우에 주로 활용된다.

• 두 변의 길이와 그 사이 각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 경우 (SAS 조건)
• 세 변의 길이를 알 때, 각의 크기를 구하는 경우 (SSS 조건)
• 삼각 측량
• 공학 및 물리학 문제 해결

피타고라스 정리와의 관계

각 A가 직각 (90도)인 경우, cosA = 0이 되므로 a² = b² + c²이 된다. 이는 피타고라스 정리와 동일하며, 코사인 법칙은 피타고라스 정리의 일반화된 형태임을 보여준다. 즉, 코사인 법칙은 직각삼각형뿐만 아니라 일반적인 삼각형에도 적용할 수 있다.

주의 사항

코사인 법칙을 사용할 때, 각의 크기는 도(degree) 또는 라디안(radian) 단위로 정확하게 표현되어야 한다. 계산기의 설정이 올바른지 확인하는 것이 중요하다.