카탈랑 상수

카탈랑 상수 (Catalan's constant)는 수학 상수 중 하나로, 다음과 같이 정의되는 무한 급수의 값입니다.

G = 1 - 1/3² + 1/5² - 1/7² + 1/9² - ... = ∑_(n=0)^∞ (-1)^n / (2n+1)²

이 값은 약 0.915965594177219015054603514932384110774... 입니다. 카탈랑 상수는 해석학에서 자주 등장하지만, 아직까지 이 상수가 유리수인지 무리수인지, 또는 초월수인지조차 밝혀지지 않았습니다. 이는 수학계의 미해결 문제 중 하나입니다.

카탈랑 상수는 다양한 적분 문제, 조합론, 특수 함수 등과 관련되어 나타나며, 특히 디리클레 L-함수의 특수한 값으로도 표현될 수 있습니다. 카탈랑 상수의 정확한 값을 계산하기 위한 다양한 알고리즘들이 개발되어 왔으며, 슈퍼컴퓨터를 이용한 고정밀 계산도 이루어졌습니다. 하지만, 폐쇄형 형태 (closed-form expression, 즉 유한 개의 기본 함수로 표현되는 형태)는 아직 발견되지 않았습니다.