지수

지수(指數, exponent)는 수학에서, 특정 숫자(밑)를 몇 번 곱할지를 나타내는 수이다. 밑을 n번 곱하는 것을 나타내는 지수를 가진 식은 aⁿ 와 같이 표기하며, 여기서 a는 밑(base)이고, n은 지수(exponent)이다. 지수가 자연수일 때는 밑을 지수만큼 반복하여 곱한 결과를 의미한다. 예를 들어, 2³는 2 × 2 × 2 = 8 이다.

지수는 자연수뿐만 아니라, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등으로 확장될 수 있다.

• 정수 지수: 지수가 음수일 경우, 밑의 역수를 지수의 절댓값만큼 곱하는 것을 의미한다. 예를 들어, 2⁻² = 1/(2²) = 1/4 이다. 지수가 0일 경우, 밑이 0이 아닌 경우 결과는 1이다 (a⁰ = 1, 단 a ≠ 0).

• 유리수 지수: 지수가 유리수 m/n (m, n은 정수, n ≠ 0) 일 경우, 밑의 n제곱근을 m승 한 것으로 정의된다. 예를 들어, 8^2/3 = (³√8)² = 2² = 4 이다.

• 실수 지수: 지수가 실수인 경우, 유리수 지수의 극한으로 정의할 수 있다. 이를 통해 실수 지수에 대한 지수 함수를 정의할 수 있다.

• 복소수 지수: 지수가 복소수인 경우, 오일러의 공식 (e^ix = cos x + i sin x)을 이용하여 정의할 수 있다.

지수는 다양한 수학 분야에서 활용되며, 특히 미적분학, 해석학, 그리고 과학 및 공학 분야에서 지수 함수와 로그 함수를 통해 다루어진다. 지수는 복리 계산, 인구 증가 모델, 방사성 붕괴 등의 현상을 표현하는데 중요한 역할을 한다. 지수 법칙은 지수를 포함한 식의 계산을 간편하게 해주는 중요한 성질들을 제공한다.