정의 가능한 수

정의 가능한 수는 특정 형식 언어 (예: 1차 논리) 내에서 고유하게 정의될 수 있는 실수입니다. 즉, 해당 실수를 가리키는 문장, 공식 또는 표현이 존재하며, 그 실수를 가리키는 다른 실수는 존재하지 않습니다.

모든 자연수는 1차 논리에서 "0에 1을 (자신) 번 더한 수"와 같이 고유하게 정의될 수 있습니다. 따라서 모든 자연수는 정의 가능한 수입니다. 마찬가지로, 모든 유리수 역시 두 자연수의 비율로 표현될 수 있으므로 정의 가능합니다. 많은 초월수 (예: π) 역시 잘 알려진 고유한 수학적 특성을 통해 정의될 수 있습니다.

정의 가능한 수의 집합은 countable (가산 집합)인 반면, 실수의 집합은 uncountable (비가산 집합)입니다. 이는 모든 가능한 정의 (공식, 문장)의 집합이 가산 집합이기 때문입니다. 다시 말해, 정의 가능한 수를 나열할 수 있다는 의미입니다. 따라서 대부분의 실수는 정의 불가능합니다. 정의 불가능한 실수는 구체적으로 제시하기 어렵습니다. 왜냐하면 그러한 실수를 제시하는 행위 자체가 그 실수를 정의하는 것이 되기 때문입니다.

정의 가능한 수의 개념은 수학 기초론, 특히 집합론과 모델 이론에서 중요한 역할을 합니다.