적분

적분(積分, Integral)은 미분과 반대되는 개념으로, 주어진 함수로부터 넓이, 부피, 질량, 확률 등의 양을 구하는 수학적 연산이다. 미적분학의 핵심적인 개념 중 하나이며, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 광범위하게 활용된다.

적분은 크게 정적분과 부정적분으로 나뉜다.

• 정적분(定積分, Definite Integral): 특정 구간 내에서 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 연산이다. 구간의 시작점과 끝점을 명확히 지정하여 계산하며, 그 결과는 구체적인 값(넓이)으로 나타난다. 기호로는 ∫ab f(x) dx 와 같이 표현하며, a와 b는 각각 적분 구간의 하한과 상한을 나타낸다.

• 부정적분(不定積分, Indefinite Integral): 주어진 함수를 미분했을 때 나오는 함수를 찾는 연산이다. 즉, 미분의 역연산이다. 부정적분의 결과는 함수 형태로 나타나며, 적분 상수 C를 포함한다. 기호로는 ∫ f(x) dx 와 같이 표현하며, 적분 상수는 미분하면 0이 되는 상수항을 의미한다.

적분은 리만 적분, 르베그 적분 등 다양한 방법으로 정의될 수 있으며, 각각의 정의는 함수의 종류나 적분의 목적에 따라 적합성이 달라진다. 또한, 다변수 함수에 대한 적분도 정의될 수 있으며, 이는 중적분이라고 불린다. 중적분은 면적, 부피 등을 계산하는 데 사용된다.

적분은 미분과 함께 미적분학의 기본을 이루며, 이 두 연산 사이의 관계는 미적분학의 기본정리에 의해 설명된다. 이 정리는 미분과 적분이 서로 역연산 관계에 있음을 명확히 보여준다.