자리스키 위상

자리스키 위상 (Zariski topology)은 대수기하학에서 대수다양체 또는 대수적 집합 위에 정의되는 위상이다. 일반적인 위상수학의 위상에 비해 상당히 다른 성질을 가지며, 특히 하우스도르프 공간이 아니다. 대수기하학적 대상들의 구조를 연구하는 데 필수적인 도구로 사용된다.

정의

체 k 위의 아핀 공간 kⁿ 위의 자리스키 위상은 다음과 같이 정의된다. k[x₁, ..., x_n]을 n개의 변수를 가진 다항식환이라고 하자. kⁿ의 닫힌 집합은 k[x₁, ..., x_n]의 다항식들의 집합 S에 대해 V(S) = { x ∈ kⁿ | f(x) = 0 for all f ∈ S } 꼴로 표현되는 집합들이다. 즉, 다항식들의 공통 영점들의 집합이다. 이러한 닫힌 집합들의 모임은 위상의 공리들을 만족시키므로 kⁿ 위에 위상을 정의하며, 이를 자리스키 위상이라고 부른다.

일반적인 대수다양체의 경우, 아핀 대수다양체들의 합집합으로 표현할 수 있으므로, 각 아핀 대수다양체 위의 자리스키 위상을 이용하여 전체 대수다양체 위에 자리스키 위상을 정의할 수 있다.

성질

• 하우스도르프 공간이 아님: 자리스키 위상을 갖춘 공간은 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니다. 두 점을 분리하는 열린 집합이 존재하지 않는 경우가 많다.
• 콤팩트 공간: 자리스키 위상을 갖춘 아핀 공간은 콤팩트 공간이다. 보다 일반적으로, 대수다양체는 콤팩트하다. 그러나 이는 하우스도르프 공간에서의 콤팩트와는 다른 의미를 가진다.
• 기약성: 자리스키 위상은 기약성(irreducibility) 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 대수다양체가 두 개의 닫힌 집합의 합집합으로 표현될 수 없으면 기약적이라고 한다.
• 뇌터 공간: 자리스키 위상을 갖춘 공간은 뇌터 공간이다. 즉, 닫힌 집합들의 내림 사슬이 항상 유한 번 만에 멈춘다.

응용

자리스키 위상은 대수기하학의 기본적인 도구로서, 대수다양체의 구조를 연구하고 다양한 대수기하학적 개념을 정의하는 데 사용된다. 예를 들어, 대수다양체의 차원, 특이점, 사상 등을 자리스키 위상을 이용하여 정의할 수 있다. 또한, 스킴 이론과 같은 현대 대수기하학에서도 중요한 역할을 한다.