이산균등분포

이산균등분포 (Discrete uniform distribution)는 확률론과 통계학에서 다루는 이산 확률 분포의 일종이다. 이 분포는 유한한 수의 값들이 모두 동일한 확률을 가질 때 나타난다. 즉, 표본 공간 내의 모든 원소가 선택될 확률이 동일하다는 특징을 가진다.

정의

이산균등분포는 다음과 같이 정의된다. 표본 공간 S가 {x₁, x₂, ..., x_n}으로 구성되어 있고, 각 원소 x_i가 선택될 확률 P(x_i)가 동일하다고 가정하자. 이때, 각 원소의 확률은 다음과 같이 표현된다.

P(x_i) = 1/n (for all i = 1, 2, ..., n)

여기서 n은 표본 공간 S의 원소의 개수이다.

예시

가장 흔한 예는 공정한 주사위를 던지는 경우이다. 주사위의 각 면(1, 2, 3, 4, 5, 6)이 나올 확률은 모두 1/6로 동일하다. 또 다른 예로는, 카드 한 벌에서 무작위로 카드를 한 장 뽑는 경우에도, 각 카드가 뽑힐 확률은 1/52로 같다.

기대값과 분산

이산균등분포의 기대값(평균)과 분산은 다음과 같이 계산된다.

• 기대값 (E[X]): (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n
• 분산 (Var[X]): ∑(x_i - E[X])² / n (for all i = 1, 2, ..., n)

만약 표본 공간이 연속적인 정수 {a, a+1, ..., b}로 구성되어 있다면 (여기서 a와 b는 정수이고 a ≤ b), 기대값과 분산은 다음과 같이 간단하게 표현될 수 있다.

• 기대값 (E[X]): (a + b) / 2
• 분산 (Var[X]): ((b - a + 1)² - 1) / 12

활용

이산균등분포는 난수 생성 알고리즘, 시뮬레이션, 게임 이론 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 특정 사건이 발생할 가능성을 동일하게 가정해야 하는 경우에 유용하게 사용된다.