유니터리 행렬

유니터리 행렬(Unitary matrix)은 복소수체 위의 정사각행렬 U로서, 자신의 켤레전치행렬 U^H (또는 U^†)과의 곱이 단위행렬 I가 되는 행렬이다. 즉, 다음 조건을 만족한다.

U^HU = UU^H = I

여기서 U^H는 U의 켤레전치행렬을 나타내며, 이는 U의 각 원소에 복소켤레를 취한 후 전치한 행렬이다.

특징:

• 정규행렬: 유니터리 행렬은 항상 정규행렬이다. (A^HA = AA^H를 만족)
• 고윳값: 유니터리 행렬의 모든 고윳값은 절댓값이 1인 복소수이다. (즉, |λ| = 1)
• 열벡터 및 행벡터: 유니터리 행렬의 열벡터들은 서로 정규직교한다. 마찬가지로, 행벡터들도 서로 정규직교한다.
• 변환: 유니터리 행렬은 복소수 벡터 공간에서 벡터의 길이를 보존하는 변환을 나타낸다. (즉, ||Ux|| = ||x|| for all x)
• 행렬식: 유니터리 행렬의 행렬식의 절댓값은 1이다. (|det(U)| = 1)
• 역행렬: 유니터리 행렬의 역행렬은 자신의 켤레전치행렬과 같다. (U^-1 = U^H)

예시:

다음은 유니터리 행렬의 예시이다.

[ 1/sqrt(2)   i/sqrt(2) ]
[ i/sqrt(2)   1/sqrt(2) ]

활용:

유니터리 행렬은 양자역학, 신호 처리, 암호학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히 양자역학에서 유니터리 변환은 양자 상태의 시간 진화를 나타내는 데 사용된다.