연속균등분포

연속균등분포 (Continuous uniform distribution)는 확률론과 통계학에서 정의되는 확률 분포의 일종으로, 주어진 구간 내에서 모든 값이 동일한 확률을 가지는 분포를 말한다. 즉, 특정 구간 [a, b] 내의 모든 실숫값이 발생할 가능성이 동일하며, 구간 밖에서는 확률이 0이다. 균등분포는 가장 단순한 형태의 확률 분포 중 하나로, 특별한 정보가 없을 때, 특정 범위 내에서 모든 값이 동일한 가능성을 가진다고 가정할 때 사용된다.

정의

연속균등분포는 두 개의 매개변수 a와 b (a < b)에 의해 정의된다. 여기서 a는 분포의 하한값이고, b는 분포의 상한값이다. 확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF)는 다음과 같이 표현된다.

f(x) = 1 / (b - a) (a ≤ x ≤ b) f(x) = 0 (otherwise)

특징

• 확률 밀도 함수: 구간 [a, b] 내에서 상수 값을 가지며, 구간 밖에서는 0이다.
• 기댓값 (Expected Value): (a + b) / 2. 구간의 중간값이 된다.
• 분산 (Variance): (b - a)² / 12. 구간의 길이에 따라 분산이 결정된다. 구간이 길수록 분산이 커진다.
• 누적 분포 함수 (Cumulative Distribution Function, CDF):
  • F(x) = 0 (x < a)
  • F(x) = (x - a) / (b - a) (a ≤ x ≤ b)
  • F(x) = 1 (x > b)
• 적용: 균등분포는 난수 생성, 시뮬레이션, 그리고 초기 단계의 확률 모델링 등에 사용된다. 예를 들어, 몬테카를로 시뮬레이션에서 무작위 표본을 생성하거나, 특정 시스템의 입력값이 특정 범위 내에서 균등하게 분포한다고 가정할 때 사용될 수 있다.
• 한계: 실제 세계에서는 완벽한 균등분포를 찾기 어렵다. 대부분의 데이터는 특정 패턴이나 편향을 가지고 있기 때문이다. 따라서, 균등분포는 단순화된 모델로서 활용되며, 보다 복잡한 확률 분포를 이해하기 위한 기초 개념으로 사용된다.

예시

만약 어떤 사건이 0부터 1 사이의 모든 값에 대해 동일한 확률로 발생한다고 가정한다면, 이는 연속균등분포 U(0, 1)로 모델링할 수 있다. 이는 컴퓨터에서 난수를 생성할 때 흔히 사용되는 방식이다.

관련 항목

• 이산균등분포 (Discrete uniform distribution)
• 확률 분포
• 기댓값
• 분산
• 확률 밀도 함수
• 누적 분포 함수