역원

수학에서 역원은 주어진 연산에 대하여 어떤 원소와 결합했을 때 항등원이 되게 하는 원소를 의미합니다. 특정 연산과 집합이 정의되어 있을 때, 각 원소마다 역원이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다.

정의

집합 S 위에서 이항 연산 ** *이 정의되어 있고, 이 연산에 대한 항등원 e가 존재한다고 가정합니다. 이때 S의 원소 a에 대하여, 다음 조건을 만족하는 S의 원소 b가 존재하면 b를 a의 (오른쪽) 역원이라고 합니다.

a * b = e

마찬가지로, 다음 조건을 만족하는 S의 원소 c가 존재하면 c를 a의 (왼쪽) 역원이라고 합니다.

c * a = e

만약 a * b = b * a = e를 만족하는 b가 존재하면, b를 a의 양쪽 역원 또는 단순히 역원이라고 합니다.

예시

• 덧셈의 역원 (덧셈에 대한 역원): 실수 집합에서 덧셈 연산에 대한 항등원은 0입니다. 따라서 실수 a의 덧셈에 대한 역원은 -a입니다. (예: 5 + (-5) = 0)
• 곱셈의 역원 (곱셈에 대한 역원): 0이 아닌 실수 집합에서 곱셈 연산에 대한 항등원은 1입니다. 따라서 0이 아닌 실수 a의 곱셈에 대한 역원은 1/a입니다. (예: 3 * (1/3) = 1)
• 행렬의 역행렬: 정사각행렬 A에 대하여 AB = BA = I를 만족하는 행렬 B가 존재하면, B를 A의 역행렬이라고 합니다. 여기서 I는 단위행렬입니다.

성질

• 만약 결합 법칙이 성립하는 연산에서는 어떤 원소의 왼쪽 역원과 오른쪽 역원이 존재하면, 그 두 역원은 서로 같고 유일합니다. 즉, c * a = a * b = e 이면 b = c 입니다.
• 만약 연산이 결합 법칙을 만족하고, 모든 원소가 역원을 가진다면, 그 집합과 연산은 군(group)을 이룹니다.

주의 사항

• 역원의 존재는 연산과 집합에 따라 달라집니다.
• 모든 원소가 역원을 가지는 것은 아닙니다.
• 역원이 존재하더라도 유일하지 않을 수 있습니다 (단, 결합 법칙이 성립하는 연산에서는 역원이 존재하면 유일합니다).