에르미트 행렬

에르미트 행렬 (Hermitian matrix)은 복소수 성분을 가지는 정사각 행렬로서, 자신의 켤레전치행렬과 같은 행렬이다. 즉, 행렬 A가 에르미트 행렬이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

A = A^H

여기서 A^H는 A의 켤레전치행렬을 나타내며, 이는 A의 각 성분을 복소켤레로 바꾼 후 전치시킨 행렬이다. 만약 A의 성분이 실수라면 켤레전치행렬은 단순히 전치행렬과 같아지므로, 실수 성분으로 이루어진 에르미트 행렬은 대칭행렬이 된다. 따라서 대칭행렬은 에르미트 행렬의 특수한 경우라고 할 수 있다.

정의 및 성질:

• 행렬 A = [a_ij] 가 에르미트 행렬일 필요충분조건은 모든 i와 j에 대해 a_ij = a_ji 이 성립하는 것이다 (여기서 a_ji는 a_ji의 복소 켤레를 의미).
• 에르미트 행렬의 대각 성분은 항상 실수이다. 왜냐하면 a_ii = a_ii^* 이므로, 대각 성분의 복소 켤레가 자기 자신과 같아야 하기 때문이다.
• 에르미트 행렬의 고윳값은 모두 실수이다.
• 에르미트 행렬에 대응하는 고유벡터는 서로 직교한다 (서로 다른 고윳값에 대응하는 경우).
• 에르미트 행렬은 유니타리 행렬에 의해 대각화될 수 있다. 즉, 어떤 유니타리 행렬 U가 존재하여 U^HAU 가 대각행렬이 된다.

활용:

에르미트 행렬은 양자역학에서 관측가능량 (observable)을 나타내는 연산자로 자주 사용된다. 관측가능량은 항상 실숫값을 가져야 하므로, 이에 대응하는 연산자는 에르미트 연산자여야 한다. 또한 선형대수학, 함수해석학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.