아벨 합 공식

아벨 합 공식 (Abel's summation formula)은 이산적인 형태의 부분 적분법과 유사한 공식으로, 수열의 합을 변형하여 계산하거나 증명하는 데 유용하게 사용됩니다. 주로 급수의 수렴성을 판정하거나 점근적 분석을 수행할 때 활용됩니다.

정의:

두 수열 {a_n}과 {b_n}이 주어졌을 때, *A_n*을 *a_n*의 부분합, 즉 A_n = ∑_k=1ⁿ a_k 라고 정의합니다. 이때 아벨 합 공식은 다음과 같이 표현됩니다.

∑_k=mⁿ a_k b_k = A_n b_n - A_m-1 b_m - ∑_k=m^n-1 A_k (b_k+1 - b_k)

여기서 A_m-1 = 0 (또는 합에 포함되지 않도록 조정)으로 정의하는 것이 일반적입니다.

활용:

• 급수 수렴 판정: 디리클레 판정법 (Dirichlet's test)과 같은 급수 수렴 판정법을 증명하거나 적용하는 데 사용됩니다.
• 점근적 분석: 특정한 급수의 점근적 행동을 분석하는 데 활용됩니다.
• 수론적 함수: 수론적 함수의 합을 다루는 문제에 적용될 수 있습니다.

예시:

만약 *b_k*가 단조 감소하고 0으로 수렴하는 수열이며, *A_n*이 유계라면 ∑ a_n *b_n*은 수렴한다는 것을 아벨 합 공식을 이용하여 증명할 수 있습니다 (디리클레 판정법).

참고: 아벨 변환 (Abel transformation)이라고도 불립니다.