세르 쌍대성

세르 쌍대성 (Serre duality)은 대수기하학에서 가환환의 대역 코호몰로지 군과 국소 코호몰로지 군 사이에 성립하는 쌍대성이다. 이는 다양체의 코호몰로지 군들 사이의 쌍대성을 나타내는 푸앵카레 쌍대성의 일반화된 형태로, 장 바티스트 세르가 증명하였다. 세르 쌍대성은 대수다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용되며, 특히 특이점을 갖는 대수다양체의 코호몰로지를 계산하는 데 유용하다.

세르 쌍대성은 다음과 같이 표현될 수 있다. X를 체 k 위의 사영 스킴이라 하고, F를 X 위의 국소 자유층이라 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전쌍대성이 존재한다.

H^i(X, F) × Ext^{n-i}(F, ω_X) → k

여기서 *H^i(X, F)*는 층 F의 i번째 대역 코호몰로지 군이고, *Ext^{n-i}(F, ω_X)*는 층 F와 쌍대화층 ω_X 사이의 n-i번째 Ext 군이다. n은 X의 차원을 나타낸다.

세르 쌍대성은 대수기하학의 여러 분야에서 응용된다. 예를 들어, 세르 쌍대성을 사용하여 대수 곡선의 종수를 계산하거나, 아벨 다양체의 자기쌍대성을 증명할 수 있다. 또한, 세르 쌍대성은 끈 이론과 같은 이론물리학 분야에서도 중요한 역할을 한다.