변곡점

변곡점 (變曲點, inflection point)은 수학, 특히 미적분학에서 함수의 그래프가 오목함에서 볼록함으로, 또는 그 반대로 바뀌는 점을 의미한다. 다시 말해, 함수의 이차 도함수의 부호가 바뀌는 점이다. 변곡점에서는 접선의 기울기가 극댓값 또는 극솟값을 가진다.

정의

함수 f(x)가 구간 I에서 두 번 미분 가능하다고 하자. x = c에서 f''(c) = 0 이거나 f''(c)가 존재하지 않고, x = c의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌면 점 (c, f(c))는 함수 f(x)의 그래프의 변곡점이다.

판별법

1. 함수 f(x)의 이차 도함수 f''(x)를 구한다.
2. f''(x) = 0 을 만족하는 x 값을 찾거나, f''(x)가 존재하지 않는 x 값을 찾는다.
3. 찾은 x 값의 좌우에서 f''(x)의 부호를 조사한다. 부호가 바뀌면 해당 x 값에서 변곡점을 갖는다.

예시

• f(x) = x³ 의 경우, f'(x) = 3x², f''(x) = 6x 이다. f''(0) = 0 이고 x = 0의 좌우에서 f''(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로, (0, 0)은 f(x) = x³ 의 변곡점이다.
• f(x) = sin(x) 의 경우, f'(x) = cos(x), f''(x) = -sin(x) 이다. f''(x) = 0을 만족하는 x 값은 nπ (n은 정수) 이며, x = nπ의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌므로, (nπ, 0)은 f(x) = sin(x) 의 변곡점이다.

활용

변곡점은 함수의 그래프 개형을 파악하는 데 중요한 역할을 하며, 최적화 문제, 경제학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 비용 함수의 변곡점은 수확 체감이 발생하는 지점을 나타낼 수 있다.

주의사항

f''(c) = 0 이라고 해서 항상 x = c에서 변곡점을 갖는 것은 아니다. f''(c) = 0 이고 x = c의 좌우에서 f''(x)의 부호가 바뀌어야만 변곡점이라고 할 수 있다. 예를 들어, f(x) = x⁴ 의 경우, f''(0) = 0 이지만 x = 0의 좌우에서 f''(x)의 부호가 양수로 동일하므로 (0, 0)은 변곡점이 아니다.