삼선형 좌표

삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 평면 위의 한 점의 위치를 나타내는 좌표계의 일종으로, 주어진 삼각형의 세 변으로부터의 (보통은 부호가 있는) 거리에 비례하는 세 개의 수로 점의 위치를 나타낸다. 즉, 기준이 되는 삼각형 ABC가 주어졌을 때, 평면 위의 한 점 P의 삼선형 좌표는 (α:β:γ)로 표현되며, 여기서 α, β, γ는 각각 점 P에서 변 BC, CA, AB까지의 거리에 비례하는 값이다.

삼선형 좌표는 비율로 표현되기 때문에, (α:β:γ)는 (kα:kβ:kγ) (k는 0이 아닌 상수)와 동일한 점을 나타낸다. 따라서 삼선형 좌표는 동차 좌표계(homogeneous coordinates)의 일종으로 볼 수 있다.

정의 및 성질

점 P의 삼선형 좌표 (α:β:γ)에서 α, β, γ는 반드시 점 P에서 각 변까지의 실제 거리를 나타내는 것은 아니며, 이들 값의 비율만이 중요하다. 만약 α, β, γ가 실제로 각 변까지의 거리를 나타낸다면, 이를 정규화된 삼선형 좌표라고 한다.

삼선형 좌표는 삼각형의 각 변에 대한 상대적인 위치를 나타내는 데 유용하며, 특히 삼각형의 내부 또는 외부에 있는 점을 구별하는 데 효과적이다. 점 P가 삼각형 ABC 내부에 위치하면 α, β, γ는 모두 양수이며, 점 P가 삼각형 ABC 외부에 위치하면 적어도 하나의 값이 음수가 된다.

삼선형 좌표는 기하학적 문제를 해결하거나 삼각형과 관련된 여러 가지 중요한 점(예: 내심, 외심, 무게중심)을 표현하는 데 널리 사용된다. 예를 들어, 삼각형 ABC의 내심은 (1:1:1)로, 무게중심은 (1/a:1/b:1/c) (a, b, c는 각 변의 길이)로 표현된다.

다른 좌표계와의 관계

삼선형 좌표는 다른 좌표계, 예를 들어 바리중심 좌표계(barycentric coordinates)와 밀접한 관련이 있다. 점 P의 바리중심 좌표가 (λ:μ:ν)일 때, 삼선형 좌표는 (aλ:bμ:cν)로 표현될 수 있다. 여기서 a, b, c는 삼각형 ABC의 각 변의 길이이다.

활용

삼선형 좌표는 삼각형 기하학에서 다양한 활용도를 가진다. 삼각형의 특정 점들을 정의하고, 삼각형과 관련된 여러 정리를 증명하는 데 사용될 뿐만 아니라, 컴퓨터 그래픽스 및 CAD/CAM 시스템에서도 도형을 표현하고 조작하는 데 활용될 수 있다.