미분

미분(微分, differentiation)은 미적분학의 중심 개념 중 하나로, 함수의 순간적인 변화율을 나타내는 수학적 연산이다. 함수의 그래프 상에서 특정 점에서의 접선의 기울기를 구하는 것으로 해석될 수 있으며, 이는 해당 점에서 함수의 변화량이 얼마나 빠르게 일어나는지를 측정하는 것과 같다. 미분은 함수의 도함수(derivative)를 구하는 과정을 의미한다.

도함수는 원래 함수의 미분을 통해 얻어지는 새로운 함수이며, 원래 함수의 각 점에서의 순간변화율을 나타낸다. 예를 들어, 위치 함수의 도함수는 속도 함수가 되고, 속도 함수의 도함수는 가속도 함수가 된다. 즉, 미분은 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 변화율을 분석하는 데 필수적인 도구이다.

미분의 기본 개념은 극한(limit)의 개념에 기반한다. 특정 점에서의 도함수는 그 점을 중심으로 한 작은 구간에서의 평균 변화율의 극한값으로 정의된다. 이러한 극한값이 존재할 때, 해당 점에서 함수는 미분 가능하다고 한다. 미분 가능하지 않은 점을 특이점이라고 한다. 미분 가능하지 않은 점의 예로는 뾰족한 점이나 불연속 점 등이 있다.

미분 연산은 여러 가지 미분 규칙(예: 합의 미분, 곱의 미분, 사슬 법칙 등)을 통해 복잡한 함수의 도함수를 계산할 수 있도록 한다. 고차 도함수는 함수를 여러 번 미분하여 얻어진 도함수를 의미하며, 물리학에서는 가속도, 가속도의 변화율 등을 나타내는 데 사용된다. 미적분학의 기본 정리는 미분과 적분 사이의 밀접한 관계를 보여주는 중요한 정리이다.

미분은 다변수 함수에도 적용될 수 있으며, 이 경우 편미분(partial derivative)을 사용한다. 편미분은 다변수 함수의 변수 중 하나에 대해서만 미분하는 것을 의미한다. 다변수 함수의 미분은 기울기(gradient) 벡터 등의 개념으로 확장된다.