대수적 무리수

대수적 무리수(代數的 無理數, 영어: algebraic irrational number)는 무리수이면서 동시에 대수적인 수를 말한다. 즉, 정수 계수를 갖는 0이 아닌 다항 방정식의 근이 되는 무리수이다.

개요

모든 유리수는 정수 계수를 갖는 일차 방정식(예: 유리수 q는 x - q = 0의 근)의 근이 되므로 대수적인 수이다. 따라서 대수적 무리수는 대수적인 수 중에서 유리수가 아닌 수, 즉 무리수인 수를 의미한다.

실수의 집합은 크게 대수적인 수와 초월수로 나뉜다. 대수적인 수는 다시 유리수와 대수적 무리수로 나눌 수 있다.

예시

• √2는 대표적인 대수적 무리수이다. √2는 정수 계수 다항 방정식 x² - 2 = 0의 근이며, 유리수가 아님(무리수)이 증명되어 있다.
• √3 (x² - 3 = 0의 근), √5 (x² - 5 = 0의 근) 등도 대수적 무리수이다.
• 황금비 (1+√5)/2는 정수 계수 다항 방정식 x² - x - 1 = 0의 근이며, 무리수이므로 대수적 무리수이다.
• 정수 n에 대해, n의 거듭제곱근 ⁿ√m (m이 n의 거듭제곱이 아닐 경우)은 대수적 무리수가 될 수 있다.

대수적 무리수가 아닌 수

• 유리수: 1/2, 3, -5 등은 정수 계수 다항 방정식의 근이 되므로 대수적인 수이지만, 무리수가 아니므로 대수적 무리수가 아니다.
• 초월수: 원주율(π)이나 자연로그의 밑(e)과 같은 수는 무리수이지만, 정수 계수를 갖는 어떤 다항 방정식의 근도 되지 않음이 증명되어 있다. 이러한 수를 초월수라고 하며, 초월수는 대수적 무리수가 아니다.

성질

• 대수적인 수 전체의 집합은 가산 집합(countable set)이다. 따라서 대수적인 무리수 전체의 집합도 가산 집합이다.
• 실수 전체의 집합은 비가산 집합(uncountable set)이므로, 초월수의 집합은 비가산 집합이며, 따라서 대수적 무리수의 집합보다 훨씬 "많다".

관련 개념

• 대수적 수
• 무리수
• 유리수
• 초월수