르장드르 변환

르장드르 변환 (Legendre transformation)은 볼록 함수를 다른 볼록 함수로 변환하는 방법으로, 주로 물리학, 경제학, 공학 등에서 사용됩니다. 특히, 열역학, 해밀턴 역학 등에서 변수 변환을 통해 문제를 단순화하거나 다른 관점에서 해석하는 데 유용하게 활용됩니다.

정의

르장드르 변환은 함수 *f(x)*를 독립 변수 x에 대한 도함수 f'(x) = p를 새로운 독립 변수로 사용하여 새로운 함수 *g(p)*를 정의하는 방식으로 이루어집니다. 구체적으로, 함수 *f(x)*의 르장드르 변환 *g(p)*는 다음과 같이 정의됩니다.

g(p) = sup_x (px - f(x))

여기서 sup_x는 x에 대한 상한(supremum)을 의미합니다. 즉, *px - f(x)*의 최댓값을 x에 대해 찾아서 그 값을 *g(p)*로 정의합니다. 만약 *f(x)*가 미분 가능하고 볼록 함수라면, 최댓값은 다음 조건을 만족하는 x에서 얻어집니다.

p = f'(x)

따라서, 위 조건을 만족하는 x를 *x(p)*라고 할 때, 르장드르 변환은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

g(p) = px(p) - f(x(p))

활용 예시

• 열역학: 열역학에서는 엔탈피 H를 내부 에너지 U의 르장드르 변환으로 정의할 수 있습니다. 이때 압력 P가 U를 부피 V에 대해 미분한 값, 즉 *P = (∂U/∂V)T 와 같습니다.
• 해밀턴 역학: 해밀턴 역학에서는 라그랑지안 *L(q, q̇)*를 일반화 좌표 q와 일반화 속도 q̇의 함수로 표현하고, 해밀토니안 *H(q, p)*를 라그랑지안의 르장드르 변환으로 정의합니다. 이때 일반화 운동량 p는 라그랑지안을 일반화 속도에 대해 미분한 값, 즉 p = (∂L/∂q̇) 와 같습니다.

성질

• 르장드르 변환은 자기 자신에 대한 변환 (involutory transformation) 입니다. 즉, *g(p)*의 르장드르 변환은 다시 *f(x)*가 됩니다. 단, *f(x)*가 볼록 함수이고 하반연속(lower semi-continuous)인 경우에만 성립합니다.
• 르장드르 변환은 함수의 볼록성을 보존합니다. 즉, *f(x)*가 볼록 함수라면 *g(p)*도 볼록 함수입니다.

주의사항

르장드르 변환은 항상 존재하지 않을 수 있습니다. 특히, 함수가 볼록 함수가 아니거나 미분 가능하지 않은 경우에는 르장드르 변환이 정의되지 않을 수 있습니다.