라마누잔 상수

라마누잔 상수는 수학 상수 중 하나로, 특정 수의 지수 값 e^(π√163)을 나타낸다. 이 상수는 정수 640320^3 + 744 = 262537412640768744에 매우 가깝다는 특이한 성질 때문에 유명해졌다. 인도의 수학자 스리니바사 라마누잔과 관련이 깊다.

이 값의 정확한 근사값은 다음과 같다. e^(π√163) ≈ 262537412640768743.99999999999925...

이처럼 값이 정수에서 극히 미미한 차이를 보이는 것은 단순한 우연이 아니라 깊은 수학적 이유가 있다. 이는 모듈러 형식 이론, 특히 타원 곡선의 j-불변값과 관련이 있다. 판별식이 -163인 허수 이차장의 아이젠슈타인 급수에서 유도되는 j-불변값 j((1+√-163)/2)이 640320^3 = 262537412640768000이라는 정수가 되기 때문이다.

j-불변값 j(τ)는 퓨리에 급수 형태로 표현될 때 1/q + 744 + 196884q + ... (여기서 q = e^(2πiτ))의 형태를 가지는데, 특정 허수 이차장의 판별식에 해당하는 τ 값, 특히 τ = (1+√-163)/2에 대해 j-불변값이 정수가 된다. 이때 q = e^(πi(1+√-163)) = e^(πi)e^(-π√163) = -e^(-π√163)이 된다. 이 관계를 통해 e^(π√163)가 특정 정수와 매우 가까워지는 현상이 설명된다. 구체적으로는 j((1+√-163)/2) + 744와 e^(π√163) 사이의 관계에서 비롯된다.

163은 헤그너 수(Heegner number) 중 가장 큰 수이며, 헤그너 수 n을 사용할 때 e^(π√n) 형태의 값이 정수에 매우 가까워지거나 심지어 정수가 되는 성질이 나타난다. 라마누잔은 그의 노트와 편지에서 이와 유사한 값들(예: e^(π√11), e^(π√19), e^(π√43), e^(π√67), e^(π√163))이 정수에 매우 가깝다는 사실을 언급하며 이러한 현상에 대한 흥미를 표현했다. 이 때문에 e^(π√163) 값이 특히 '라마누잔 상수'로 불리게 되었다.