내적

내적 (inner product) 또는 점곱 (dot product)은 벡터 공간의 두 벡터에 대해 스칼라 값을 산출하는 이항 연산이다. 내적은 선형 대수학에서 중요한 개념으로, 벡터의 크기, 두 벡터 사이의 각도, 그리고 벡터의 직교성 등을 계산하는 데 사용된다. 다양한 벡터 공간에서 정의될 수 있으며, 공간의 구조를 이해하는 데 필수적인 역할을 한다.

정의

두 벡터 u = (u₁, u₂, ..., u_n) 와 v = (v₁, v₂, ..., v_n)의 내적은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

u ⋅ v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n = Σᵢ uᵢvᵢ

이 정의는 유클리드 벡터 공간에서 사용되는 표준 내적이다. 하지만 다른 벡터 공간에서는 다른 형태의 내적이 정의될 수 있다. 일반적으로 내적은 다음과 같은 성질을 만족해야 한다.

• 선형성: ⟨au + bv, w⟩ = a⟨u, w⟩ + b⟨v, w⟩ 그리고 ⟨u, av + bw⟩ = a⟨u, v⟩ + b⟨u, w⟩ (a, b는 스칼라, u, v, w는 벡터)
• 대칭성: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩
• 정정성: ⟨u, u⟩ ≥ 0 이며, ⟨u, u⟩ = 0 이면 u = 0 (영벡터)

성질

내적은 다음과 같은 중요한 성질들을 가지고 있다.

• 코시-슈바르츠 부등식: |⟨u, v⟩| ≤ ||u|| ||v||, 여기서 ||u||와 ||v||는 각각 벡터 u와 v의 크기를 나타낸다.
• 두 벡터 사이의 각도: cos θ = ⟨u, v⟩ / (||u|| ||v||), 여기서 θ는 벡터 u와 v 사이의 각도이다. 두 벡터가 직교하면 내적은 0이 된다.
• 벡터의 크기: ||u|| = √⟨u, u⟩

일반화

위에서 설명한 표준 내적은 유클리드 공간에 국한된 개념이다. 함수 공간과 같은 다른 벡터 공간에서도 내적이 정의될 수 있으며, 이는 함수의 직교성 및 함수의 크기를 정의하는 데 사용된다. 예를 들어, L² 공간에서의 내적은 적분을 이용하여 정의된다.

응용

내적은 물리학, 컴퓨터 그래픽스, 머신 러닝 등 다양한 분야에서 널리 사용된다. 예를 들어, 물리학에서는 일, 에너지, 힘 등을 계산하는 데 사용되며, 컴퓨터 그래픽스에서는 벡터의 투영이나 광원 계산에 사용된다. 머신러닝에서는 유사도 측정이나 차원 축소 등에 활용된다.