나머지 정리

나머지 정리(Remainder Theorem)는 다항식의 나눗셈과 관련된 중요한 정리 중 하나이다. 어떤 다항식 $P(x)$를 일차식 $(x-a)$로 나누었을 때의 나머지를 다항식의 나눗셈 과정을 실제로 수행하지 않고 간단히 구할 수 있게 해준다.

나머지 정리에 따르면, 다항식 $P(x)$를 일차식 $(x-a)$로 나누었을 때의 나머지는 $P(a)$와 같다.

공식화

다항식의 나눗셈 관계에 따라, 다항식 $P(x)$를 일차식 $(x-a)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R$이라고 하면 다음 등식이 성립한다.

$P(x) = (x-a)Q(x) + R$

이때, 나누는 식 $(x-a)$가 일차식이므로 나머지 $R$은 상수이다 (상수항 다항식). 나머지 정리는 바로 이 나머지 $R$이 $P(a)$의 값과 같다는 것을 보여준다.

증명

위의 나눗셈 관계식 $P(x) = (x-a)Q(x) + R$에 $x=a$를 대입하면 다음과 같이 된다.

$P(a) = (a-a)Q(a) + R$ $P(a) = 0 \cdot Q(a) + R$ $P(a) = 0 + R$ $P(a) = R$

따라서 $P(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때의 나머지는 $P(a)$와 같다.

관련 정리: 인수 정리

나머지 정리의 중요한 귀결(결과)로 인수 정리(Factor Theorem)가 있다.

인수 정리는 다항식 $P(x)$에 대하여 $P(a)=0$이면, 즉 $P(x)$를 $(x-a)$로 나누었을 때 나머지가 0이면, $(x-a)$는 $P(x)$의 인수(factor)임을 말한다. 이는 나머지 정리에서 $R=P(a)$이므로, $P(a)=0$일 때 나머지가 0이 되어 $P(x) = (x-a)Q(x)$ 형태로 나타낼 수 있기 때문이다. 역으로, $(x-a)$가 $P(x)$의 인수이면 $P(x)=(x-a)Q(x)$ 꼴이므로 $P(a)=(a-a)Q(a)=0$이다.

활용

나머지 정리는 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 빠르게 계산하는 데 사용된다. 또한, 나머지 정리와 인수 정리를 이용하여 다항식의 근을 찾거나 다항식을 인수분해하는 과정의 기초가 된다.