기하 조화 평균

기하 조화 평균 (Geometric Harmonic Mean, GHM)은 두 수의 기하 평균과 조화 평균을 결합한 평균의 한 종류이다. 특히 여러 비율이나 백분율의 평균을 계산할 때 유용하게 사용될 수 있다.

정의

두 양수 a와 b의 기하 조화 평균은 다음과 같이 정의된다.

GHM(a, b) = √ (GM(a, b) * HM(a, b))

여기서,

• GM(a, b)는 a와 b의 기하 평균으로, √(a * b)이다.
• HM(a, b)는 a와 b의 조화 평균으로, 2 / (1/a + 1/b) 또는 2ab / (a + b)이다.

따라서, 기하 조화 평균은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

GHM(a, b) = √ (√(a * b) * (2ab / (a + b))) = √(2 * a^(3/2) * b^(3/2) / (a + b))

특징

• 기하 조화 평균은 항상 두 수의 기하 평균과 조화 평균 사이에 위치한다. 즉, HM(a, b) ≤ GHM(a, b) ≤ GM(a, b)가 성립한다.
• 기하 조화 평균은 산술-기하 평균 부등식과 유사한 방식으로 응용될 수 있다.
• 데이터 세트 내의 비율 또는 백분율의 평균을 계산할 때 기하 평균이나 조화 평균보다 더 적절한 결과를 제공할 수 있다. 특히 데이터의 변동성이 크거나 이상치가 존재하는 경우에 유용하다.

응용

기하 조화 평균은 다음과 같은 분야에서 응용될 수 있다.

• 금융: 투자 수익률 분석
• 생물학: 유전자 발현 데이터 분석
• 공학: 성능 평가 지표 분석

예시

예를 들어, 두 수 4와 9의 기하 조화 평균을 계산해 보자.

• GM(4, 9) = √(4 * 9) = 6
• HM(4, 9) = 2 / (1/4 + 1/9) = 72 / 13 ≈ 5.54
• GHM(4, 9) = √(6 * (72/13)) = √(432/13) ≈ 5.76