극값

극값(極值, extremum)은 함수의 값이 주변 값보다 현저하게 크거나 작은 값을 의미한다. 함수의 정의역 내 특정 점에서 함수값이 그 주변의 함수값보다 클 경우 극대값(local maximum 또는 relative maximum)이라 하고, 작을 경우 극소값(local minimum 또는 relative minimum)이라 한다. 극대값과 극소값을 통틀어 극값이라 한다.

극값은 함수의 그래프에서 언덕 꼭대기(극대) 또는 골짜기 바닥(극소)에 해당하는 점에서 나타난다. 미분 가능한 함수의 경우, 극값은 일반적으로 도함수가 0이 되는 점(임계점)에서 나타난다. 단, 모든 임계점이 극값을 갖는 것은 아니며, 도함수가 존재하지 않는 점에서도 극값이 존재할 수 있다. 극값을 찾는 것은 미적분학에서 중요한 문제이며, 최적화 문제를 풀 때 필수적인 과정이다.

극값을 판별하는 방법으로는 일차 도함수 판정법과 이차 도함수 판정법 등이 있다. 일차 도함수 판정법은 임계점 주변에서 도함수의 부호 변화를 통해 극값 여부를 판별하며, 이차 도함수 판정법은 이차 도함수의 부호를 이용하여 극값 여부 및 극대/극소를 판별한다. 함수가 여러 변수를 갖는 경우, 편도함수와 헤세 행렬(Hessian matrix)을 이용하여 극값을 판별한다.

참고: 극값은 전역적 최댓값(global maximum)이나 최솟값(global minimum)과 구분되어야 한다. 전역적 최댓값(최솟값)은 함수의 정의역 전체에서 가장 큰(작은) 값을 의미하며, 극값은 주변의 국소적인 영역에서만 가장 큰(작은) 값을 의미한다. 하나의 함수는 여러 개의 극값을 가질 수 있지만, 전역적 최댓값과 최솟값은 각각 하나 또는 존재하지 않을 수 있다.