힐베르트 다항식

힐베르트 다항식(Hilbert polynomial)은 대수기하학에서 사영 대수 다양체의 중요한 불변량 중 하나이다. 이 다항식은 충분히 큰 정수 k에 대해 사영 다양체 X의 k차 동차 성분으로 이루어진 벡터 공간의 차원을 나타낸다. 힐베르트 다항식은 X의 차수, 차원 및 기타 기하학적 정보를 담고 있으며, 대수 다양체를 분류하고 연구하는 데 필수적인 도구로 사용된다.

정확히 말하면, X를 체 k 위의 사영 공간 ℙⁿ의 닫힌 부분 스킴이라고 하고, *I(X)*를 X의 정의 아이디얼이라고 하자. 그러면 X의 좌표환은 *S(X) = k[x₀, ..., x_n] / I(X)*로 주어진다. *S(X)*는 자연스러운 등급을 가지며, *S(X)_d*는 *S(X)*의 d차 동차 성분으로 이루어진 벡터 공간을 나타낸다. X의 힐베르트 함수는 *H_X(d) = dim_k(S(X)_d)*로 정의된다.

힐베르트 함수는 충분히 큰 d에 대해 d에 대한 다항식과 일치한다. 이 다항식을 X의 힐베르트 다항식이라고 부르며, *P_X(t)*로 표기한다. 힐베르트 다항식의 차수는 X의 차원과 같으며, 최고차항의 계수는 (X의 차수) / (차원)! 이다.

힐베르트 다항식은 대수기하학 뿐만 아니라 가환대수학에서도 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 뇌터 환의 등급 가군에 대한 힐베르트 다항식을 정의할 수 있으며, 이는 특정한 상황에서 가군의 길이 또는 차원을 계산하는 데 사용된다.