횔더 부등식

횔더 부등식 (Hölder's inequality)은 곱의 적분에 대한 부등식으로, 해석학에서 중요한 역할을 한다. 특히 Lp 공간 이론에서 핵심적인 도구로 사용되며, 다양한 수학적 증명과 문제 해결에 활용된다.

정의

두 함수 $f$와 $g$가 측정 공간 $(X, \mu)$에서 정의되고, $p, q > 1$이며 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$을 만족한다고 하자. (이때 $p$와 $q$를 횔더 켤레 지수(Hölder conjugate exponents)라고 부른다.) $f \in L^p(X)$ 이고 $g \in L^q(X)$이면 다음 부등식이 성립한다.

$\int_X |f(x)g(x)| d\mu(x) \leq (\int_X |f(x)|^p d\mu(x))^{\frac{1}{p}} (\int_X |g(x)|^q d\mu(x))^{\frac{1}{q}}$

이를 노름 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

$|fg|{L^1} \leq |f|{L^p} |g|_{L^q}$

만약 $X$가 유한개의 점으로 이루어진 집합이라면 (예를 들어, $X = {1, 2, ..., n}$) 횔더 부등식은 다음과 같은 형태로 표현된다. $x_i, y_i$ 가 실수 또는 복소수일 때,

$\sum_{i=1}^n |x_i y_i| \leq (\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{\frac{1}{p}} (\sum_{i=1}^n |y_i|^q)^{\frac{1}{q}}$

특수한 경우

• $p = q = 2$인 경우, 횔더 부등식은 코시-슈바르츠 부등식과 동일해진다.

응용

횔더 부등식은 Lp 공간의 완비성 증명, 함수 공간의 포함 관계 증명, 미분방정식의 해의 존재성 증명 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한 확률론에서 확률 변수의 기댓값 계산 및 부등식 유도에도 사용된다.

같이 보기

• 코시-슈바르츠 부등식
• 민코프스키 부등식
• Lp 공간