호모토피 범주

호모토피 범주는 위상 공간과 연속 함수 사이의 관계를 다루는 범주론적 구조이다. 보다 정확하게는, 주어진 모형 범주 (model category)의 약한 동치 (weak equivalence) 관계에 대해 범주를 국소화 (localize)하여 얻어지는 범주이다. 즉, 원래 범주의 대상은 그대로 유지하되, 약한 동치 관계에 있는 사상들을 동형 사상으로 간주하도록 사상을 재정의한 것이다.

호모토피 범주는 위상수학, 대수적 위상수학, 호모토피 이론에서 중요한 역할을 한다. 위상 공간들의 '호모토피 형(homotopy type)'을 분류하거나, 공간들의 호모토피 군(homotopy group)을 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 호모토피 범주는 대수 기하학, 이론 물리학 등 다양한 분야에서도 활용된다.

호모토피 범주를 구성하는 일반적인 방법은 다음과 같다. 먼저, 위상 공간들의 범주 또는 사슬 복합체(chain complex)들의 범주와 같은 적절한 모형 범주를 정의한다. 이 모형 범주에는 약한 동치, 올뭉치(fibration), 쌍대올뭉치(cofibration)의 세 가지 종류의 특별한 사상이 정의되어 있다. 그런 다음, 약한 동치에 해당하는 사상들을 형식적으로 가역화(formally invert)하여 호모토피 범주를 얻는다. 이 과정은 범주를 국소화하는 것으로 이해할 수 있다.

호모토피 범주에서의 사상은 원래 범주에서의 사상과 직접적으로 대응되지 않는다. 대신, '지붕(roof)'이라는 특수한 형태의 사상들을 통해 표현된다. 지붕은 두 개의 사상으로 구성되는데, 하나는 원래 범주에서의 사상이고, 다른 하나는 약한 동치에 해당하며 그 방향이 반대로 되어 있다.

호모토피 범주는 원래 범주보다 더 단순한 구조를 가지는 경우가 많으며, 호모토피론적인 문제를 다루기에 더 적합한 틀을 제공한다. 예를 들어, 두 위상 공간 사이의 호모토피 동치 관계는 호모토피 범주에서 동형 사상으로 표현될 수 있다.