호모토피 동치

호모토피 동치 (Homotopy equivalence)는 위상수학에서 두 위상 공간이 "동일한 형태"를 갖는다는 것을 나타내는 약한 형태의 동치 관계이다. 위상 동형 사상보다 약한 조건으로, 호모토피 동치인 두 공간은 연속적으로 변형하여 서로를 얻을 수 있다는 의미를 내포한다. 즉, 한 공간을 늘리거나 줄이거나 구부리는 등의 변형을 통해 다른 공간으로 만들 수 있다면, 두 공간은 호모토피 동치이다.

더 엄밀하게 정의하면, 두 위상 공간 X와 Y 사이에 연속 함수 f: X → Y와 g: Y → X가 존재하여 g ∘ f 가 항등 함수 id_X와 호모토픽하고, f ∘ g 가 항등 함수 id_Y와 호모토픽할 때, X와 Y는 호모토피 동치라고 한다. 이때 f와 g를 각각 호모토피 동치 사상이라고 부른다.

호모토피 동치는 위상 공간을 분류하는 데 유용한 도구이며, 대수적 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 축약 가능 공간(contractible space)은 한 점과 호모토피 동치인 공간이다. 원은 뫼비우스의 띠와 호모토피 동치이며, 도넛 모양의 표면(토러스)은 원 두 개의 곱공간 S¹ × S¹ 과 호모토피 동치이다.

호모토피 동치의 개념은 위상수학뿐만 아니라 호모토피 이론, 범주론 등 다양한 분야에서 활용된다.