항등원

항등원은 수학에서 특정 연산에 대해, 그 연산의 결과가 원래의 값과 동일하게 만드는 원소를 말한다. 즉, 어떤 집합 S와 그 위에서 정의된 이항 연산 * 에 대해, 다음 조건을 만족하는 원소 e ∈ S를 항등원이라고 한다.

• 모든 a ∈ S에 대해, a * e = e * a = a

여기서 연산 *는 덧셈, 곱셈, 행렬의 연산 등 다양한 종류가 될 수 있다. 항등원은 연산의 종류에 따라 덧셈에 대한 항등원(덧셈의 항등원), 곱셈에 대한 항등원(곱셈의 항등원) 등으로 구분된다.

덧셈의 항등원

덧셈에 대한 항등원은 어떤 수에 더해도 그 수가 변하지 않게 하는 수이며, 일반적으로 0이다. 예를 들어, 실수 집합에서 덧셈의 항등원은 0인데, 임의의 실수 a에 대해 a + 0 = 0 + a = a 가 성립한다.

곱셈의 항등원

곱셈에 대한 항등원은 어떤 수에 곱해도 그 수가 변하지 않게 하는 수이며, 일반적으로 1이다. 예를 들어, 실수 집합에서 곱셈의 항등원은 1인데, 임의의 실수 a에 대해 a × 1 = 1 × a = a 가 성립한다.

기타 연산의 항등원

행렬의 덧셈에서는 영행렬이 항등원 역할을 하며, 함수의 합성에서는 항등 함수가 항등원 역할을 한다. 이처럼 항등원의 개념은 다양한 수학적 구조에서 중요한 역할을 한다.