평행축 정리

평행축 정리 (Parallel Axis Theorem, Steiner's Theorem)는 강체의 관성 모멘트를 계산하는 데 사용되는 정리이다. 특정 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 알고 있을 때, 그 축과 평행한 다른 축에 대한 관성 모멘트를 쉽게 구할 수 있도록 해준다.

정의

어떤 물체의 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 *I_cm*을 알고 있을 때, 그 축과 평행하며 거리가 d 만큼 떨어진 다른 축에 대한 관성 모멘트 I는 다음과 같이 계산된다.

I = I_cm + Md²

여기서 M은 물체의 총 질량이다.

설명

평행축 정리는 복잡한 형태의 물체의 관성 모멘트를 계산하는 데 유용하다. 물체를 단순한 모양의 여러 부분으로 나누고 각 부분의 질량 중심에 대한 관성 모멘트를 계산한 다음, 평행축 정리를 사용하여 전체 물체의 원하는 축에 대한 관성 모멘트를 구할 수 있다.

유도

평행축 정리는 관성 모멘트의 정의와 평행 이동에 따른 좌표 변환을 이용하여 유도할 수 있다. 물체를 구성하는 각 질점의 위치 벡터를 좌표 변환한 후, 관성 모멘트의 정의식에 대입하여 전개하면 평행축 정리를 얻을 수 있다.

활용

평행축 정리는 다양한 분야에서 활용된다.

• 역학: 회전 운동하는 물체의 운동 에너지를 계산하거나, 강체의 동역학적 해석에 사용된다.
• 공학: 구조물의 안정성을 분석하거나, 기계 부품의 설계를 최적화하는 데 활용된다.
• 물리학: 고체 물리학에서 결정체의 진동 모드를 분석하거나, 통계 역학에서 분자의 회전 운동을 다룰 때 사용된다.