파이겐바움 상수
파이겐바움 상수(Feigenbaum constants)는 혼돈 이론에서 나타나는 두 개의 수학 상수이다. 이들은 비선형 역학계의 분기 다이어그램에서 나타나며, 특히 주기 배가 현상을 겪는 시스템에서 두드러진다.
첫 번째 파이겐바움 상수 (δ):
주기 배가 분기가 일어나는 속도를 나타낸다. 정확하게 말하면, 비선형 사상 f(λ, x) (여기서 λ는 분기 매개변수)의 경우, 연속적인 주기 배가 간격 사이의 비율이 λ가 무한대로 접근할 때 다음의 값으로 수렴한다.
δ = lim (λn+1 - λn) / (λn+2 - λn+1) ≈ 4.66920160910299067185321...
여기서 λn은 n번째 주기 배가가 일어나는 λ 값이다. 이 상수는 로지스틱 사상과 같은 다양한 단봉 사상(unimodal map)에서 나타난다.
두 번째 파이겐바움 상수 (α):
주기 배가 분기에서 분기 다이어그램 가지의 폭소 감소율을 나타낸다. 즉, 분기점에서의 가지 간 최대 폭소에 대한 다음 가지의 최대 폭소 비율의 극한값이다.
α = lim (dn / dn+1) ≈ -2.5029078750958928294989...
여기서 dn은 n번째 분기점부터 가장 가까운 분기 다이어그램 가지까지의 거리이다.
특징:
- 파이겐바움 상수는 초월수일 것으로 추정되지만 아직 증명되지는 않았다.
- 이 상수는 특정한 함수 형태와 관계없이, 주기 배가 현상을 보이는 광범위한 역학계에서 나타나는 보편적인 성질을 나타낸다.
- 파이겐바움 상수의 발견은 혼돈 이론의 발전에 중요한 기여를 했다.
관련 항목:
- 혼돈 이론
- 분기 다이어그램
- 로지스틱 사상
- 주기 배가