점렬 콤팩트 공간

점렬 콤팩트 공간 (Sequentially Compact Space)은 수학, 특히 일반 위상수학에서 다루는 위상 공간의 한 종류이다. 위상 공간 X가 점렬 콤팩트 공간이라는 것은 X 안의 임의의 점렬이 X 안의 점으로 수렴하는 부분 점렬을 가진다는 것을 의미한다.

정의

위상 공간 X가 점렬 콤팩트 공간이라는 것은 다음 조건을 만족하는 경우를 말한다.

• X 안의 임의의 점렬 (x_n)에 대해, 부분 점렬 (x_nk)가 존재하여, 어떤 점 x ∈ X 로 수렴한다. 즉, lim_k→∞ x_nk = x 이다.

성질

• 모든 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이다. (단, 이는 거리화 가능 공간에서만 성립한다.)
• 모든 거리화 가능 공간에서, 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간과 동치이다. 즉, 거리 공간에서는 콤팩트, 극한점 콤팩트, 점렬 콤팩트의 개념이 모두 같다.
• 점렬 콤팩트 공간은 가산 콤팩트 공간이다.
• 점렬 콤팩트 공간의 연속 함수에 의한 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

예시

• 실수 집합 ℝ에서 유계인 닫힌 구간 [a, b]는 점렬 콤팩트 공간이다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano–Weierstrass theorem)에 의해 증명될 수 있다.
• 유클리드 공간 ℝⁿ에서 유계인 닫힌 집합은 점렬 콤팩트 공간이다.
• 모든 유한 집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

참고

콤팩트 공간은 하이네-보렐 정리(Heine–Borel theorem)와 밀접한 관련이 있으며, 점렬 콤팩트 공간은 이 정리의 일반화된 형태로 볼 수 있다. 하지만, 일반적인 위상 공간에서는 콤팩트성과 점렬 콤팩트성은 동치가 아니다. 콤팩트 공간은 점렬 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이라고 해서 반드시 콤팩트 공간인 것은 아니다. 예를 들어, 비가산 집합에 이산 위상을 부여한 공간은 점렬 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간은 아니다.