이차원으로의 극간

이차원으로의 극한은 다변수 함수, 특히 두 변수를 갖는 함수에서 특정 점으로 접근할 때 함수의 값이 특정한 값에 수렴하는지 여부를 나타내는 개념이다. 일변수 함수의 극한과는 달리, 이차원 평면 상에서 특정 점으로 접근하는 방법이 무수히 많기 때문에 극한의 존재성을 판정하는 데 더 복잡한 고려 사항이 필요하다.

정의

함수 f(x, y)가 점 (a, b) 근방에서 정의되어 있고 (단, (a, b) 자체는 제외될 수 있음), 임의의 양수 ε > 0에 대해, 적당한 양수 δ > 0이 존재하여 0 < √((x - a)² + (y - b)²) < δ를 만족하는 모든 (x, y)에 대해 |f(x, y) - L| < ε이 성립하면, 함수 f(x, y)는 점 (a, b)에서 극한값 L을 가진다고 정의한다. 이를 기호로 다음과 같이 표현한다.

lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = L

극한의 존재성

이차원 함수의 극한이 존재하려면, 점 (a, b)로 접근하는 모든 경로를 따라 함수의 값이 동일한 값 L로 수렴해야 한다. 만약 두 개 이상의 경로를 따라 접근했을 때 함수의 값이 서로 다른 값으로 수렴한다면, 해당 점에서 극한은 존재하지 않는다.

극한의 계산

이차원 함수의 극한을 계산하는 방법은 다음과 같다.

• 반복 극한: 먼저 x를 a로 접근시키고, 그 결과에 대해 y를 b로 접근시키는 방법 (또는 그 반대의 순서). 하지만 반복 극한이 존재하더라도 이차원 극한이 반드시 존재하는 것은 아니다.
• 극좌표 변환: (x, y)를 (r cos θ, r sin θ)로 변환하여 r을 0으로 접근시키는 방법. 이 때 θ 값에 관계없이 극한값이 동일해야 극한이 존재한다.
• 경로 접근: 다양한 경로 (예: 직선 y = mx, 포물선 y = mx², 등)를 따라 점 (a, b)로 접근시켜 극한값을 확인하는 방법.

주의 사항

• 두 변수 함수의 극한은 각 변수에 대한 극한이 존재한다고 해서 반드시 존재하는 것은 아니다.
• 특정 경로에 대한 극한이 존재한다고 해서 전체 극한이 반드시 존재하는 것은 아니다.
• 이차원 함수의 극한 문제는 종종 연속성 문제와 관련되어 나타난다.