유한 생성 가군

유한 생성 가군 (Finitely Generated Module)은 가군 이론에서 중요한 개념 중 하나로, 주어진 환 위의 가군이 유한 개의 원소들로 생성될 때, 그 가군을 유한 생성 가군이라고 한다.

정의:

환 R 위의 가군 M이 주어졌을 때, M의 원소들의 집합 {m₁, m₂, ..., m_n}이 존재하여, M의 모든 원소 m이 R의 원소 r₁, r₂, ..., r_n에 대해 다음과 같은 형태로 표현될 수 있으면 M은 유한 생성 가군이다.

m = r₁m₁ + r₂m₂ + ... + r_nm_n

이때 집합 {m₁, m₂, ..., m_n}을 M의 생성집합이라고 한다.

예시:

• 환 R 자체는 R 위의 가군으로 간주할 수 있으며, 1이라는 원소로 생성되므로 유한 생성 가군이다.
• 정수환 Z 위의 가군으로서의 Zⁿ (n개의 Z의 직접곱)은 표준적인 기저 {(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)}에 의해 유한 생성 가군이다.
• 유한 아벨 그룹은 정수환 Z 위의 유한 생성 가군이다.

성질:

• 유한 생성 가군의 준동형적 이미지는 유한 생성 가군이다. 즉, M이 유한 생성 R-가군이고 f: M → N이 R-가군 준동형사상이라면, Im(f)는 유한 생성 R-가군이다.
• 뇌터 환 위의 유한 생성 가군의 부분 가군은 유한 생성 가군이다. (뇌터 환의 정의에 따라)
• 가군 M의 부분 가군 N이 유한 생성 가군이고, M/ N이 유한 생성 가군이면, M 또한 유한 생성 가군이다.

응용:

유한 생성 가군 개념은 대수학, 특히 가환대수학, 대수적 정수론 등에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 주 아이디얼 정역 (PID) 위의 유한 생성 가군은 기본 정리 (Fundamental Theorem)에 따라 자유 가군과 꼬임 부분 가군으로 분해될 수 있다. 이러한 구조 정리는 가군의 분류 및 연구에 중요한 도구로 사용된다.