월리스 공식

월리스 공식 (Wallis product)은 원주율 π를 무한 곱으로 표현하는 공식이다. 1655년 존 월리스(John Wallis)에 의해 발표되었으며, 다음과 같이 표현된다.

π/2 = (2/1) * (2/3) * (4/3) * (4/5) * (6/5) * (6/7) * (8/7) * (8/9) * ...

공식의 의미:

위 공식은 짝수와 홀수의 비율을 무한히 곱해나가면 그 결과가 π/2에 수렴한다는 것을 보여준다. 즉, 다음과 같이 일반화할 수 있다.

π/2 = lim (n→∞) ∏[k=1 to n] (4k^2) / (4k^2 - 1)

증명:

월리스 공식은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. 대표적인 방법은 다음과 같다.

• 부분 적분: 삼각함수의 거듭제곱 적분을 부분 적분을 사용하여 계산하고, 그 결과를 극한으로 나타내어 증명한다.
• 감마 함수: 감마 함수를 이용하여 사인 함수의 곱에 대한 공식을 유도하고, 이를 통해 월리스 공식을 증명한다.

활용:

월리스 공식은 π의 근삿값을 계산하거나, 다른 수학적 공식들을 유도하는 데 활용될 수 있다. 또한, 확률론이나 통계학 분야에서도 응용된다.

역사:

존 월리스는 미적분학의 초기 발전에 기여한 수학자로, 무한 곱을 사용하여 π를 표현하는 새로운 시도를 하였다. 그의 공식은 이후 다양한 연구를 통해 엄밀하게 증명되었으며, 수학사에서 중요한 위치를 차지하고 있다.