역함수

역함수 (逆函數, Inverse function)는 어떤 함수 f에 대하여, 입력과 출력을 뒤바꾼 함수를 의미한다. 즉, 함수 f가 x를 y로 대응시킬 때, 역함수는 y를 다시 x로 대응시킨다. 함수 f의 역함수는 일반적으로 f⁻¹로 표기한다.

정의

함수 f: X → Y에 대하여, 모든 y ∈ Y에 대해 f(x) = y를 만족하는 유일한 x ∈ X가 존재할 때, 함수 g: Y → X를 g(y) = x로 정의하면 g를 f의 역함수라고 한다. 즉, y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)가 성립한다.

존재 조건

함수 f가 역함수를 가지려면, f는 전단사 함수 (일대일 대응 함수)여야 한다. 전단사 함수는 정의역의 서로 다른 원소들이 치역의 서로 다른 원소에 대응되는 동시에, 치역과 공역이 같은 함수를 의미한다.

• 일대일 함수 (단사 함수): 정의역의 서로 다른 원소에 대해 함숫값이 서로 다른 함수. 즉, x₁ ≠ x₂ 이면 f(x₁) ≠ f(x₂) 이다.
• 전사 함수 (onto function): 공역과 치역이 같은 함수. 즉, 모든 y ∈ Y에 대해 f(x) = y를 만족하는 x ∈ X가 존재한다.

성질

• (f⁻¹)⁻¹ = f (역함수의 역함수는 원래 함수이다.)
• f⁻¹(f(x)) = x (함수와 역함수의 합성함수는 항등함수이다.)
• f(f⁻¹(y)) = y (함수와 역함수의 합성함수는 항등함수이다.)
• y = f(x)의 그래프와 y = f⁻¹(x)의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이다.
• 미분 가능한 함수 f의 역함수 f⁻¹의 미분은 (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(x) 이다. (단, f'(x) ≠ 0)

역함수 구하는 방법

1. 주어진 함수 y = f(x)를 x에 대하여 정리한다. 즉, x = g(y)의 형태로 나타낸다.
2. x와 y를 서로 바꾼다. 즉, y = g(x)로 바꾼다.
3. y = g(x)가 f의 역함수 f⁻¹(x)가 된다.

예시

• f(x) = 2x + 3의 역함수:
  1. y = 2x + 3을 x에 대해 정리하면 x = (y - 3) / 2
  2. x와 y를 바꾸면 y = (x - 3) / 2
  3. 따라서 f⁻¹(x) = (x - 3) / 2

주의사항

• 함수 f가 전단사 함수가 아니면 역함수가 존재하지 않는다.
• 삼각함수의 역함수는 정의역을 제한하여 정의한다. (예: arcsin x, arccos x, arctan x)