에탈 코호몰로지

에탈 코호몰로지(Étale cohomology)는 대수기하학에서 대수다양체의 코호몰로지 이론을 다루는 방법 중 하나이다. 특이 코호몰로지가 복소수체 위의 대수다양체를 다룰 때 유용한 도구이지만, 유한체나 양의 표수를 가지는 체 위에서는 제대로 작동하지 않는다. 에탈 코호몰로지는 이러한 제한을 극복하기 위해 알렉산더 그로텐디크에 의해 도입되었다.

고전적인 위상수학에서 코호몰로지는 열린 덮개와 그 교집합들의 위상적 성질을 이용하여 정의된다. 에탈 코호몰로지는 '에탈 사상(étale morphism)'이라는 대수기하학적 개념을 통해 위상 공간에서의 열린 덮개와 유사한 역할을 수행하도록 구성된다. 에탈 사상은 직관적으로는 '국소적으로는 아이소멀피즘과 유사한 성질'을 가지는 사상으로, 이는 미분기하학에서의 잠김(immersion)과 유사한 개념이다.

에탈 코호몰로지는 다양한 계수를 사용하여 정의될 수 있으며, 특히 l-진 코호몰로지(l-adic cohomology)는 l이 기저체의 표수와 다른 소수일 때 계수를 l-진 정수환으로 사용하여 정의된다. l-진 코호몰로지는 대수다양체의 위상적 불변량을 연구하는 데 강력한 도구이며, 수론적인 문제, 예를 들어 베유 추측(Weil conjectures)을 해결하는 데 중요한 역할을 했다.

에탈 코호몰로지는 매우 추상적인 개념이지만, 대수기하학, 수론, 표현론 등 다양한 분야에서 깊이 있게 활용되고 있다. 특히, 갈루아 표현론과의 연관성은 에탈 코호몰로지의 중요한 응용 분야 중 하나이다.