쌍곡선

쌍곡선(雙曲線, hyperbola)은 기하학에서 두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 자취로 정의되는 평면 곡선이다. 이 두 정점을 쌍곡선의 초점이라고 부른다. 타원과 마찬가지로 원뿔 곡선 중 하나이며, 원뿔을 축과 평행하게 자르지 않고 자르면 쌍곡선이 나타난다.

정의

평면 위의 서로 다른 두 점 F와 F'이 주어졌을 때, |PF - PF'| = 2a (a는 상수)를 만족하는 점 P들의 집합을 쌍곡선이라고 한다. 이때 F와 F'은 쌍곡선의 초점, FF'의 중점은 쌍곡선의 중심, 두 초점을 지나는 직선은 쌍곡선의 주축, 주축과 수직이고 중심을 지나는 직선은 쌍곡선의 켤레축이라고 한다. 주축과 쌍곡선의 교점을 꼭짓점이라고 한다.

표준형

좌표평면에서 중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

이때 초점의 좌표는 (±c, 0)이며, c² = a² + b² 관계가 성립한다. 두 점근선의 방정식은 y = ±(b/a)x이다.

좌표평면에서 중심이 원점이고 초점이 y축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

y²/a² - x²/b² = 1 (a > 0, b > 0)

이때 초점의 좌표는 (0, ±c)이며, c² = a² + b² 관계가 성립한다. 두 점근선의 방정식은 y = ±(a/b)x이다.

성질

• 쌍곡선은 두 개의 분리된 곡선으로 이루어져 있다.
• 쌍곡선은 두 개의 점근선을 가지며, 곡선은 점근선에 점점 가까워진다.
• 쌍곡선 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 일정하다.
• 쌍곡선은 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 항해, 천문학, 건축 등에 사용된다.

같이 보기

• 타원
• 포물선
• 원뿔 곡선