수반 작용소

수반 작용소(adjoint operator)는 선형대수학 및 함수해석학에서 정의되는 개념으로, 주어진 연산자와 특정한 내적 공간에 대해 밀접하게 관련된 연산자를 의미한다. 흔히 힐베르트 공간에서 정의되며, 유한 차원 복소 벡터 공간에서의 켤레 전치 행렬의 일반화된 개념으로 볼 수 있다.

정의

힐베르트 공간 H 위의 유계 선형 연산자 A에 대해, 다음을 만족하는 유계 선형 연산자 A*를 A의 수반 작용소라고 한다.

⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A*y⟩ (모든 x, y ∈ H에 대해)

여기서 ⟨ , ⟩는 힐베르트 공간 H에서의 내적을 나타낸다. A*는 유일하게 결정된다.

성질

• (A + B)* = A* + B*
• (αA)* = ᾱA* (α는 스칼라, ᾱ는 α의 켤레복소수)
• (AB)* = BA
• (A*)* = A
• I* = I (I는 항등 연산자)
• 만약 A가 가역적이라면, (A⁻¹)* = (A*)⁻¹

자기 수반 작용소 (Self-adjoint operator)

만약 A* = A를 만족하는 연산자 A를 자기 수반 작용소 또는 에르미트 연산자라고 한다. 자기 수반 작용소는 양자역학에서 물리량을 나타내는 연산자로 자주 등장하며, 그 고윳값은 항상 실수이다.

유니타리 작용소 (Unitary operator)

만약 AA = AA = I를 만족하는 연산자 A를 유니타리 작용소라고 한다. 유니타리 작용소는 힐베르트 공간의 내적을 보존하는 성질을 가지고 있다.

예시

• 유한 차원 복소 벡터 공간에서 선형 변환을 나타내는 행렬 A의 수반 작용소는 A의 켤레 전치 행렬 A†이다.
• 실수 힐베르트 공간에서 선형 변환을 나타내는 행렬 A의 수반 작용소는 A의 전치 행렬 Aᵀ이다.
• 적분 연산자 Kf = ∫k(x, y)f(y) dy의 수반 작용소는 K*f = ∫k(y, x)f(y) dy이다.

응용

수반 작용소는 함수해석학, 양자역학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히 양자역학에서는 물리량의 연산자를 정의하고, 그 성질을 분석하는 데 필수적인 도구로 사용된다.