설리번 대수

설리번 대수 (Sullivan Algebra)는 대수적 위상수학 분야에서 유리 호모토피 이론(rational homotopy theory)을 연구하는 데 사용되는 중요한 대수적 구조이다. 특히, 단순히 연결된 공간(simply connected space)의 유리 호모토피 유형(rational homotopy type)을 대수적으로 모델링하는 데 사용된다.

설리번 대수는 구체적으로는 가환 미분 등급 대수(commutative differential graded algebra, CDGA)의 한 종류이다. 여기서 '가환'은 등급 의미에서 가환(graded commutative)임을 의미한다. 즉, 두 원소 a와 b에 대해 a⋅b = (-1)^(|a||b|) b⋅a 가 성립한다. 여기서 |a|와 |b|는 각각 a와 b의 차수(degree)를 나타낸다.

설리번 대수는 일반적으로 다음과 같은 추가적인 조건을 만족한다.

• 자유성 (Freeness): 대수는 가환 대수로서 자유롭다. 즉, 자유 가환 대수(free commutative algebra)로 생성된다. 다시 말해, 다항식 대수와 유사한 구조를 가지지만, 등급 구조를 고려해야 한다.
• 최소성 (Minimality): 미분(differential) d는 분해 불가능한 원소(indecomposable element)들의 곱으로 이루어진다. 이는 미분이 "최대한 간단하게" 정의되었다는 의미이다.

설리번 대수의 중요성은 다음과 같은 측면에서 나타난다.

• 유리 호모토피 불변량 (Rational Homotopy Invariants): 설리번 대수는 공간의 유리 호모토피 불변량, 예를 들어 유리 호모토피 군(rational homotopy groups)과 같은 정보를 계산하는 데 사용될 수 있다.
• 모델링 공간 (Modeling Spaces): 특정한 조건 하에서, 단순히 연결된 공간의 유리 호모토피 유형은 유일한 최소 설리번 대수에 의해 결정된다. 이는 대수적인 구조를 통해 공간의 위상적인 성질을 연구할 수 있도록 해준다.

설리번 대수는 데니스 설리번(Dennis Sullivan)에 의해 도입되었으며, 유리 호모토피 이론의 발전에 큰 영향을 미쳤다.