사슬 복합체

사슬 복합체 (Chain Complex)는 수학, 특히 호몰로지 대수학에서 다루는 기본적인 개념으로, 대상(주로 아벨 군 또는 가군)들과 이들을 연결하는 사상(준동형 사상)들의 특정 순서열을 의미합니다. 이 순서열은 인접한 사상들의 합성이 0이 되는 성질, 즉 각 사상의 이미지가 다음 사상의 핵에 포함되는 성질을 만족합니다.

사슬 복합체는 다음과 같이 표현됩니다.

..., → Cₙ₊₁ → ∂ₙ₊₁ Cₙ → ∂ₙ Cₙ₋₁ → ∂ₙ₋₁ ...

여기서 Cₙ은 n차원 대상을 나타내고, ∂ₙ은 n번째 경계 사상(boundary map)을 나타냅니다. 중요한 조건은 ∂ₙ∂ₙ₊₁ = 0 이 성립해야 한다는 것입니다. 이는 모든 n에 대해 im(∂ₙ₊₁) ⊆ ker(∂ₙ) 임을 의미합니다.

사슬 복합체는 위상수학, 대수기하학, 표현론 등 다양한 분야에서 사용되며, 특히 호몰로지 군을 계산하는 데 중요한 도구입니다. 호몰로지 군은 복합체 내의 "구멍" 또는 "사이클"을 측정하는 데 사용되며, 복합체의 구조적 특성을 이해하는 데 도움을 줍니다.

사슬 복합체의 개념은 코호몰로지 복합체로 일반화될 수 있으며, 이는 사상들이 반대 방향으로 향하는 순서열을 의미합니다.