비가측 집합

비가측 집합(非可測集合, Non-measurable set)은 측도론에서 주어진 측도에 대해 측도를 정의할 수 없는 집합을 의미한다. 즉, 르베그 측도와 같이 정의된 측도에 대해, 그 측도값을 부여하는 것이 불가능한 집합을 말한다.

이러한 집합의 존재는 선택 공리와 밀접한 관련이 있으며, 선택 공리가 없이는 비가측 집합의 존재를 증명할 수 없다. 선택 공리를 받아들이면, 르베그 측도에 대해 비가측 집합이 존재함을 보일 수 있다. 대표적인 예시로는 비탈리 집합이 있다.

비가측 집합의 존재는 측도론과 실해석학에서 중요한 의미를 갖는다. 모든 집합에 대해 측도를 정의할 수 없다는 사실은 측도론의 한계를 보여주는 동시에, 측도론의 공리적 기반과 선택 공리의 중요성을 강조한다. 또한, 비가측 집합의 존재는 확률론 등 다양한 분야에 영향을 미친다.