바탕 함수 집합
바탕 함수 집합은 특정 함수 공간의 원소(함수)들을 선형 결합을 통해 표현할 수 있는 기본 함수들의 집합을 의미한다. 이는 선형 대수의 벡터 공간에서 기저(basis)의 개념을 함수 공간으로 확장한 것으로 이해할 수 있다.
개념 수학적으로, 어떤 함수 공간 V의 부분 집합 B = {b₁, b₂, b₃, ...}이 바탕 함수 집합(또는 기저)이라고 불리기 위해서는 다음 조건들을 만족해야 한다.
- 선형 독립성: 집합 B 내의 어떤 함수도 나머지 함수들의 유한 선형 결합으로 표현될 수 없다. 즉, ∑ cᵢ bᵢ = 0 (단, 유한 합)이 성립하려면 모든 계수 cᵢ가 0이어야 한다.
- 생성 (완비성): 함수 공간 V 내의 임의의 함수 f가 집합 B 내의 함수들의 유한 또는 무한 선형 결합 ∑ cᵢ bᵢ로 표현되거나, 적어도 임의의 정확도로 근사될 수 있어야 한다. 이상적인 경우, 함수 공간의 모든 함수는 바탕 함수들의 고유한 선형 결합으로 표현된다.
이러한 바탕 함수 집합을 사용하면, 복잡한 함수를 다루기 쉬운 기본 함수들의 조합으로 분해하여 분석하거나 조작할 수 있다.
특성
- 선형성: 바탕 함수들의 선형 결합으로 표현된다는 것 자체가 선형성을 기반으로 한다.
- 직교성/정규직교성: 일부 유용한 바탕 함수 집합(예: 푸리에 급수의 삼각 함수, 직교 다항식)은 서로 직교하거나 정규직교하는 성질을 가진다. 이는 함수를 해당 바탕 함수들의 선형 결합으로 표현했을 때 계수(Coefficient)를 계산하기 매우 용이하게 만든다.
- 완비성: 해당 함수 공간의 모든 함수를 표현하거나 근사할 수 있는 능력을 의미한다.
예시
- 다항식: 특정 구간에서의 연속 함수 공간에서 {1, x, x², x³, ...}와 같은 단항식 집합은 바탕 함수 집합으로 사용될 수 있다 (예: 테일러 급수). 르장드르 다항식, 에르미트 다항식과 같은 직교 다항식 또한 특정 함수 공간의 바탕 함수 집합으로 활용된다.
- 삼각 함수: 주기 함수 공간에서 {1, sin(nx), cos(nx) | n=1, 2, ...}와 같은 삼각 함수 집합은 푸리에 급수의 바탕 함수 집합이다.
- 웨이블릿(Wavelet): 시간-주파수 분석에 사용되는 웨이블릿 함수들의 집합은 특정 함수 공간의 바탕 함수 집합을 이룬다.
- 가우시안 함수: 방사형 기저 함수(Radial Basis Function, RBF) 네트워크와 같은 일부 기계 학습 모델에서 사용된다.
활용 바탕 함수 집합은 신호 처리(푸리에 변환, 웨이블릿 변환), 데이터 근사 및 보간(스플라인, 곡선 피팅), 수치 해석(유한 요소법), 양자 역학(원자 궤도), 기계 학습(커널 방법, 회귀 모델), 이미지 압축 등 과학기술의 다양한 분야에서 핵심적으로 활용된다.
관련 개념 선형 독립, 선형 생성(Span), 벡터 공간, 함수 공간, 기저(Basis), 차원(Dimension), 푸리에 해석, 직교 다항식, 웨이블릿.