르베그 덮개 차원

르베그 덮개 차원 (Lebesgue covering dimension)은 위상 공간의 차원을 정의하는 방법 중 하나로, 직관적인 기하학적 개념을 일반적인 위상 공간으로 확장한 것이다. 덮개 차원은 주어진 공간을 덮는 열린 덮개들의 세분(refinement)을 이용하여 정의된다.

구체적으로, 위상 공간 X의 르베그 덮개 차원은 다음과 같이 정의된다. X의 열린 덮개 U의 order는 U에 속하는 열린 집합 중 적어도 한 점을 공유하는 집합의 최대 개수에서 1을 뺀 값이다. 만약 모든 열린 덮개 U에 대하여, order가 n 이하인 세분 V가 존재하면, X의 르베그 덮개 차원은 n 이하라고 한다. X의 르베그 덮개 차원이 n 이하이면서 n-1 이하가 아니면, X의 르베그 덮개 차원은 n이라고 정의한다. 만약 모든 n에 대하여 르베그 덮개 차원이 n 이하가 아니라면, X의 르베그 덮개 차원은 무한대라고 한다.

르베그 덮개 차원은 유클리드 공간의 차원과 일치하며, 다양체의 차원을 정의하는 데에도 유용하게 사용된다. 르베그 덮개 차원은 위상 불변량이며, 호모토피 불변량은 아니다. 르베그 덮개 차원은 Hausdorff 차원과 항상 일치하지 않는다.