로그 적분 함수

로그 적분 함수(Logarithmic integral function)는 수학에서 특수한 함수 중 하나로, 다음과 같이 정의됩니다.

li(x) = ∫0x dt/ln(t)

단, 위 적분은 t = 1에서 특이점을 가지므로, 코시 주요값(Cauchy principal value)으로 해석됩니다. 즉,

li(x) = lim ε→0 (∫01-ε dt/ln(t) + ∫1+εx dt/ln(t))

로그 적분 함수는 정수론, 특히 소수 분포 연구에서 중요한 역할을 합니다. 소수 계량 함수 π(x)는 x 이하의 소수의 개수를 나타내는데, 소수 정리(Prime Number Theorem)에 따르면 x가 무한대로 갈 때 π(x)는 li(x)에 점근적으로 수렴합니다. 즉,

lim x→∞ π(x) / li(x) = 1

또한, 로그 적분 함수는 오프셋 로그 적분 함수(offset logarithmic integral function, Li(x))로 정의되기도 합니다. 이는 다음과 같습니다.

Li(x) = ∫2x dt/ln(t) = li(x) - li(2)

Li(x)는 li(x)보다 π(x)에 더 나은 근사값을 제공하는 것으로 알려져 있습니다.

로그 적분 함수는 여러 수학적 소프트웨어 (예: Mathematica, Maple)에서 내장 함수로 제공되며, 다양한 응용 분야에서 사용됩니다.