등비급수

등비급수는 각 항이 이전 항에 일정한 비(공비)를 곱하여 얻어지는 무한급수를 말한다. 즉, 첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 각 항을 무한히 더한 급수를 의미하며, 다음과 같이 표현된다.

a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻¹ + ...

여기서 a는 첫째항, r은 공비, n은 항의 번호를 나타낸다.

수렴 조건:

등비급수는 공비 r의 값에 따라 수렴하거나 발산한다.

• |r| < 1 일 때: 등비급수는 수렴하며, 그 합은 a / (1 - r) 이다.
• |r| ≥ 1 일 때: 등비급수는 발산한다.

활용:

등비급수는 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 순환소수를 분수로 나타내거나, 재정학에서 연금의 현재 가치를 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 프랙탈 기하학이나 확률론 등에서도 중요한 역할을 한다.