동등 연속 함수족

동등 연속 함수족은 주어진 집합 위에서 정의된 함수들의 모임이 가지는 특별한 성질을 나타내는 개념이다. 함수족 내의 모든 함수들이 비슷한 방식으로 연속성을 가지는 경우, 이를 동등 연속이라고 한다.

정확한 정의는 다음과 같다. 함수족 $\mathcal{F}$, 즉, 집합 $A$에서 정의된 함수들의 모임 $\mathcal{F} = {f: A \to \mathbb{R}}$ (혹은 더 일반적으로 거리 공간 $Y$로의 함수들의 모임)이 주어졌을 때, $\mathcal{F}$가 동등 연속(equicontinuous)이라는 것은 다음 조건을 만족하는 것을 의미한다.

임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $\delta > 0$가 존재하여, 모든 $f \in \mathcal{F}$와 $A$ 내의 모든 $x, y$에 대해, $d(x, y) < \delta$이면 $d(f(x), f(y)) < \epsilon$이 성립한다. 여기서 $d$는 주어진 공간에서의 거리 함수이다. (만약 $Y = \mathbb{R}$이라면 $d(f(x), f(y))$는 $|f(x) - f(y)|$가 된다.)

직관적인 이해:

일반적인 연속 함수는 각 점 $x$마다 $\epsilon$에 대응하는 $\delta$ 값이 다를 수 있다. 하지만 동등 연속 함수족은 모든 함수와 모든 점에 대해 동일한 $\delta$ 값을 선택할 수 있다는 점에서 차이가 있다. 즉, 함수족 내의 어떤 함수를 고르더라도, 충분히 가까운 두 점은 그 함수에 의해 가깝게 유지된다는 의미이다.

예시 및 중요성:

• 균등 연속 함수족: 만약 함수족 $\mathcal{F}$가 유한 개의 균등 연속 함수로 이루어져 있다면, $\mathcal{F}$는 동등 연속이다.

• 컴팩트 집합에서의 연속 함수족: 컴팩트 집합 위에서 정의된 동일하게 유계인 함수들의 도함수들이 유계일 경우, 함수족은 동등 연속이다 (아르첼라-아스콜리 정리와 관련).

• 아르첼라-아스콜리 정리: 동등 연속이고 점별 유계인 함수족은 균등 수렴하는 부분 수열을 가진다는 아르첼라-아스콜리 정리에서 핵심적인 역할을 한다. 이 정리는 미분 방정식, 함수 해석학 등 다양한 분야에서 중요한 응용을 가진다.

주의:

개별적으로 모든 함수가 연속이라고 해서 그 함수족이 반드시 동등 연속인 것은 아니다. 동등 연속성은 각 함수의 연속성보다 더 강한 조건이다.