대수적 수론

대수적 수론(代數的數論, Algebraic number theory)은 정수론의 한 분야로, 수 체와 그 안의 대수적 정수를 연구하는 학문이다. 정수론의 많은 문제는 유리수체 Q의 확대로 얻어지는 대수적 수 체에서 더 쉽게 해결될 수 있으며, 이는 페르마의 마지막 정리 증명 과정에서 대수적 수론이 중요한 역할을 한 것에서 잘 드러난다.

대수적 수론의 주요 연구 대상은 다음과 같다.

• 대수적 수 체 (Algebraic number field): 유리수체 Q의 유한 확대체. 예를 들어, Q에 √2를 첨가하여 얻는 체 Q(√2)는 대수적 수 체이다.
• 대수적 정수 (Algebraic integer): 최고차항의 계수가 1인 정수 계수 다항식의 근이 되는 복소수. 예를 들어, √2는 x² - 2 = 0의 근이므로 대수적 정수이다.
• 아이디얼 (Ideal): 대수적 정수환의 부분집합으로, 환 연산에 대해 닫혀 있는 특별한 형태의 집합. 아이디얼은 정수론에서 소인수분해의 일반화된 개념을 제공한다.
• 단위 (Unit): 대수적 정수환의 가역원. 즉, 곱셈에 대한 역원을 가지는 원소.
• 유일 인수 분해 (Unique factorization): 정수환에서 모든 원소가 소수의 곱으로 유일하게 표현될 수 있는지 여부. 대수적 정수환에서는 일반적으로 유일 인수 분해가 성립하지 않지만, 아이디얼을 사용하면 유일 인수 분해가 성립하는 경우가 많다.

대수적 수론은 정수론뿐만 아니라, 대수기하학, 표현론, 암호론 등 다양한 분야와 깊이 연결되어 있으며, 현대 수학의 중요한 분야 중 하나이다. 주요 연구 주제로는 유체론, 이와사와 이론, 모듈러 형식과 L-함수 등이 있다.